Форум Oni

блин, так просто не скажу. мы это проходили уже, но у меня нет под рукой тетради с записями. если хочешь, я могу завтра достать тетрадь и помогу, если это не так срочно надо

demos_kratos написал(а):

Вариант, предоставленный Wolfram|Alpha не подойдет. Там он с арктангенсом выдает ответ, а он таки не сходится с ответом у меня.

вольфрам кроме ответа и решение даёт, заменами. +) не сходится принципиально или просто по виду? распиши при первом взятии арктангенс через искомые функции, да и всё. о_О

Сдаюсь. Я не удосужился запомнить взятие интеграла методом разложения рациональной ф-ции (P(x)/Q(x)) на простейшие дроби.
Оригинально задание вот так выглядит.



Классика - Задачник Демидовича, номер 1955.

Отредактировал(а) demos_kratos (23-12-2010 17:11:27)

ща будет. кое-что сделаю и будет тебе ответ. я нашла решение

Вообзем, спасибо за попытки помочь. Мих, я пробовал перейти из арктангенса в арксинус но там получалась такая срань Господня...

я x^3 представил как (x+1)(x^2+x+1)-1 и почленно поделил разбив один интеграл на 2. Первый решился достаточно просто с заменой переменной, потом по частям. В первой половине получилось


Вторая половина после замены переменной выглядела приблизительно так же, как в первом посте и вызвала 3 часа ступора. Там пришлось заменить переменную (u=x-1; du=dx) и  провести интегрирование по частям. Причем дважды.
В итоге получилось


В целом задание несложное, но смутило вот это указание перед самим номером:

demos_kratos написал(а):

Мих, я пробовал перейти из арктангенса в арксинус но там получалась такая срань Господня...

конечно, получалась, такие переходы противоестественны и там ничерта не упростится. вообще-то арктангенс - самая няшная функция из всех арков, наоборот к нему лучше всегда всё сводить.

demos_kratos написал(а):

я x^3 представил как (x+1)(x^2+x+1)-1 и почленно поделил разбив один интеграл на 2.

эээ. вообще-то, x^3 = (x+1)(x^2-x+1)-1 ведь. и всего на 2 там не разбить, имеем 4 слагаемых, нужно ведь до простых дробей довести дело. хотя опечатка не слишком существенная была - просто никакого x+5 не будет.

demos_kratos написал(а):

Там пришлось заменить переменную (u=x-1; du=dx) и  провести интегрирование по частям. Причем дважды.

тут всё правильно. +) за той оговоркой, что замен могло быть три (ещё на тангенс), и тогда бы интегрировалась сразу изначальная дробь, экономя примерно треть записей. хотя по заданию и не это требовалось.

demos_kratos написал(а):

В целом задание несложное, но смутило вот это указание перед самим номером

ну хоть значит я всё правильно понял. )) всё верно - выделили рациональную функцию и разложили, не забыв потом всё домножать на 1/y.

Шинатама написал(а):

картинка 0039_10 - решение уравнения

вот, что и требовалось доказать. в ответе просто арктангенс с корнями приведён к арксинусу с модулем. -__- это просто бред того, кто хотел сделать ответ максимально компактным, сворачивать что-то под модуль никогда не стоит, это ересь и преступление. таких людей просто надо заставлять обратно дифференцировать все свои ответы с расписыванием всех случаев. компактность компактностью, а на практике с полученным ответом ещё работать обычно приходится, а не только записать и забыть.
а первые два слагаемые точно сходятся с теми, что предлагает вольфрам - как для изначальной дроби, так и для (x^2 - x + 1)/y после приведения подобных. третье остаётся арктангенсом, никакие модули вводить не нужно.

Шинатама написал(а):

только, мне интересно, какой же там должен быть правильный ответ

(-sqrt(-x^2 + 2*x + 1)*(x + 1) - sqrt(2)*arctg(x/sqrt((-x^2 + 2*x + 1)/2)) - 4*arcsin((1 - x)/sqrt(2)))/2 + C

Шинатама написал(а):

которым как раз пользуются преподаватели

Шинатама написал(а):

морочат всем голову

Шинатама написал(а):

даже не знают, какой должен быть ответ

Шинатама написал(а):

хотя они ориентируются по этим учебникам.

это неправильные преподаватели.

Шинатама написал(а):

ПРАВИЛЬНЫЕ отвенты

правильные, корректные и единственно правильные ответы - это всё совершенно разные вещи. многие семейства диффуров имеют по нескольку различных по форме ответов; многие функции можно преобразовать так, что никогда не поймёшь, что изначально-то было. даже одно-единственное C можно в такое место засунуть, что потом полчаса выковыривать придётся. чем составители ответов и занимаются, в общем-то - приведением получившегося к наиболее няшной форме по своим извращённым представлениям. строго говоря, за один только ответ к 1955 номеру можно было бы оторвать человеку сразу две руки - одну за модуль, а вторую за числа типа 1/sqrt(2), корни в знаменателях.